二項(xiàng)分布的預(yù)期值
二項(xiàng)式分布是一類重要的離散概率分布。這些類型的分布是一系列n獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)都有恒定的成功概率p。與任何概率分布一樣，我們想知道它的意思或中心是什么。為此，我們真的在問：“二項(xiàng)分布的預(yù)期值是多少？”
直覺與證明
如果我們仔細(xì)考慮二項(xiàng)式分布，則不難確定此類概率分布的期望值為np。有關(guān)此示例的一些快速示例，請(qǐng)考慮以下內(nèi)容：
- 如果我們折騰100個(gè)硬幣，并且X是頭的數(shù)量，則X的期望值是50=（1/2）100。
- 如果我們正在進(jìn)行20個(gè)問題的多項(xiàng)選擇測(cè)試，每個(gè)問題有四個(gè)選擇（只有一個(gè)是正確的），那么隨機(jī)猜測(cè)意味著我們只希望得到（1/4）20=5個(gè)問題是正確的。
在這兩個(gè)例子中，我們看到E[X]=n p。有兩個(gè)案例幾乎不足以得出結(jié)論。雖然直覺是指導(dǎo)我們的好工具，但形成數(shù)學(xué)論證并證明某些事情是真實(shí)的還不夠。我們?nèi)绾未_定地證明這種分布的預(yù)期值確實(shí)是np？
從n成功概率試驗(yàn)p的二項(xiàng)式分布的期望值和概率質(zhì)量函數(shù)的定義，我們可以證明我們的直覺與數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的結(jié)果相匹配。我們需要在工作中謹(jǐn)慎一些，并且在操作組合公式給出的二項(xiàng)式系數(shù)時(shí)要靈活。
我們首先使用公式：
E[X]=∑nX C（n，X）pX（1-p）n–X。
由于每個(gè)t求和的erm乘以x，對(duì)應(yīng)于x=0的項(xiàng)的值將為0，因此我們實(shí)際上可以寫：
E[X]=∑nX C（n，X）pX（1–p）n–X。
通過操縱C（n，x）表達(dá)式中涉及的因子，我們可以重寫
x C（n，x）=n C（n–1，x–1）。
這是真的，因?yàn)椋?/p>
x C（n，x）=x n！/（x?。╪數(shù)學(xué)常識(shí)-x）！）=n！/（（x-1）！（n-x）?。?n（n-1）！/（（x-1）?。ǎ╪-1）-（x-1））！）=n C（n–1，x–1）。
由此可見：
E[X]=∑nn C（n–1，X–1）pX（1–p）n–X。
我們從上面的表達(dá)式中剔除了n和一個(gè)p：
E[X]=n p∑nC（n–1，X–1）pX–1（1–p）（n–1）-（X–1）。
變量140 r x-1141的變化給了我們：
（n-1，r）p 149 r 150（1-p）151（n-1）-r 152>。
通過二項(xiàng)式，（x+y）k=∑kC（k，r）xryk–r可以重寫上面的總和：
E[X]=（n p）（p+（1–p））n–1=np。
上述論點(diǎn)讓我們走了很長(zhǎng)一段路。從二項(xiàng)分布的期望值和概率質(zhì)量函數(shù)的定義開始，我們已經(jīng)證明了我們的直覺告訴我們的。二項(xiàng)分布的期望值B（n，p）是n p。
