期望值的公式
要問概率分布的一個自然問題是，"它的中心是什么？"期望值是概率分布中心的這種度量之一。由于它衡量的是平均值，所以這個公式來源于平均值也就不足為奇了。
為了建立一個起點(diǎn)，我們必須回答這個問題，"預(yù)期值是多少？"假設(shè)我們有一個與概率實(shí)驗(yàn)相關(guān)的隨機(jī)變量。讓我們說我們一次又一次地重復(fù)這個實(shí)驗(yàn)。在同一概率實(shí)驗(yàn)的多次重復(fù)的長期運(yùn)行中，如果我們將隨機(jī)變量的所有值取平均值，我們將獲得期望值。
接下來我們將看到如何使用公式來計算期望值。我們將同時查看離散設(shè)置和連續(xù)設(shè)置，并查看公式中的異同
離散隨機(jī)變量的公式
我們首先分析離散情況。給定一個離散的隨機(jī)變量X，假設(shè)它的值X，X，X。x，以及p，p，p。p。這就是說這個隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)給出了36 f 37（38 x 39）=40 p 41。42
X的期望值由下式給出：
E（X）=Xp+Xp+Xp+。+xp。
使用概率質(zhì)量函數(shù)和求和符號，我們可以更緊湊地寫出如下公式，其中求和取自索引i：
E（X）=∑Xf（X）。
這個版本的公式很有幫助，因?yàn)楫?dāng)我們有一個無限的樣本空間時，它也適用。這個公式也很容易調(diào)整為連續(xù)案件。
示例
翻轉(zhuǎn)硬幣三次，讓X成為頭的數(shù)量。隨機(jī)變量X是離散的和有限的。我們可以擁有的**可能的值是0,1,2和3。對于X=0，概率分布為1/8，X=1時為3/8，X=2時為3/8，X=3時為1/8。使用期望值公式獲得：
（1/8）0+（3/8）1+（3/8）2+（1/8）3=12/8=1.5
在這個例子中，我們看到，從長遠(yuǎn)來看，我們將從這個實(shí)驗(yàn)中平均總共有1.5個頭。這與我們的直覺是有道理的，因?yàn)?個中的一半是1.5。
連續(xù)隨機(jī)變量
的公式我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)向一個連續(xù)的隨機(jī)變量，我們用X表示。我們將用函數(shù)f給出X的概率密度函數(shù)。（X）。
X的期望值由下式給出：
E（X）=∫X f（X）dX。
在這里，我們看到隨機(jī)變量的期望值表示為一個積分。
隨機(jī)變量的期望值有許多應(yīng)用。這個公式在圣彼得堡悖論中有一個有趣的外觀。
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