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數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)有時(shí)需要使用集合論。德摩根定律是描述各種集合論操作之間相互作用的兩個(gè)陳述。法則是對(duì)于任意兩組A和B：

（A∩B）^C=A^CUB^C。
（AUB）^C=A^C∩B^C。

在解釋這些陳述中的每一個(gè)意味著什么之后，我們將看看每個(gè)被使用的例子。

集合理論運(yùn)算

要理解德摩根定律所說的，我們必須回顧一些集合論操作的定義。具體來說，我們必須了解兩組的并集和交集以及一組的補(bǔ)充。

德摩根的法律涉及工會(huì)，交叉點(diǎn)和補(bǔ)充點(diǎn)的互動(dòng)。回想一下：

教育資源網(wǎng)_1

集合A和B的交集由A和B共有的所有元素組成。交點(diǎn)用A∩B表示。
集合A和B的并集由所有元素組成在A或B中，包括兩組中的元素。交點(diǎn)由A U B表示。
集合A的補(bǔ)碼由不是A的元素的所有元素組成。這個(gè)補(bǔ)碼用A 91 C 92表示。93

現(xiàn)在我們已經(jīng)回顧了這些基本操作，我們將看到德摩根定律的陳述。對(duì)于每對(duì)集合A和B，我們有：

（A∩B）^C=A^CUB^C
（AUB）^C=A^C∩B^C

這兩個(gè)陳述可以通過使用維恩圖來說明。如下所示，我們可以證明b為了證明這些陳述是正確的，我們必須使用集合論操作的定義來證明它們。

De Morgan'的例子;s定律

例如，考慮從0到5的實(shí)數(shù)集。我們用區(qū)間符號(hào)[0,5]寫這個(gè)。在這個(gè)集合中，我們有A=[1,3]和B=春季飲食養(yǎng)生小常識(shí)[2,4]。此外，在應(yīng)用我們的基本操作后，我們有：

補(bǔ)體A^C=[0,1）U（3,5]
補(bǔ)體B^C=[0,2）U（4,5]
并集AUB=[1,4]
交點(diǎn)A∩B=[2,3]

我們首先計(jì)算并集A^CUB^C。我們看到[0,1）U（3，5]與[0,2）U（4,5]的并集是[0,2）U（3,5]。交點(diǎn)A∩B是[2，3]。我們看到這個(gè)集合[2,3]的補(bǔ)碼也是[0,2）U（3,5]。通過這種方式，我們證明了A^CUB^C=（A∩B）^C。

現(xiàn)在我們看到[0,1）U（3,5]與[0,2）U（4,5]的交點(diǎn)是[0,1）U（4,5]。我們還看到[1,4]的補(bǔ)碼也是[0,1）U（4,5]。通過這種方式，我們證明了216 A 217 218 C 219 220 B 221 222 C 223（224 A 225 U 226 B 227）228 C 229。