使用條件概率計(jì)算交叉概率

事件的條件概率是事件A發(fā)生的概率,因?yàn)榱硪粋€(gè)事件B已經(jīng)發(fā)生。這種類型的概率是通過(guò)將我們正在使用的樣本空間限制為僅設(shè)置B來(lái)計(jì)算的。

條件概率的公式可以用一些基本的代數(shù)來(lái)重寫(xiě)。而不是公式:

P(A | B)=P(A∩B)/P(B),

我們將兩側(cè)乘以P(B)并得到等效公式:

P(A | B)xP(B)=P(A | B)。

然后,我們可以使用此公式通過(guò)使用條件概率來(lái)查找兩個(gè)事件發(fā)生的概率。

使用公式

當(dāng)我們知道給定B的條件概率A以及事件的概率B時(shí),此版本的公式最有用。如果是這種情況,那么我們可以通過(guò)簡(jiǎn)單地乘以另外兩個(gè)概率來(lái)計(jì)算給定BA的交點(diǎn)的概率。兩個(gè)事件相交的概率是一個(gè)重要的數(shù)字,因?yàn)樗莾蓚€(gè)事件發(fā)生的概率。

示例

對(duì)于我們的第一個(gè)例子,假設(shè)我們知道以下概率值心理常識(shí)健德堂P(A | B)=0.8和P(B)=0.5。概率P(A∩B)=0.8 x 0.5=0.4。

雖然上面的例子顯示了公式是如何工作的,但它可能并不是上述公式有多有用的**啟發(fā)性。所以我們將考慮另一個(gè)例子。高中有400名學(xué)生,其中男性120人,女性280人。在男性中,60%目前參加數(shù)學(xué)課程。在女性中,80%目前參加數(shù)學(xué)課程。隨機(jī)選擇的學(xué)生是參加數(shù)學(xué)課程的女性的概率是多少?

在這里,我們讓76 F 77表示事件“選定的學(xué)生是一名女性”和78 M 79表示事件“選定的學(xué)生參加了一門(mén)數(shù)學(xué)課程”我們需要確定這兩個(gè)事件相交的概率,或80 P(M∩F)81。

上述公式表明P(M∩F)=P(M | F)×P(F)。選擇女性的概率為P(F)=280/400=70%??紤]到選擇了女性,所選擇的學(xué)生參加數(shù)學(xué)課程的條件概率是P(M | F)=80%。我們將這些概率相乘,看到我們選擇參加數(shù)學(xué)課程的女學(xué)生的概率為80%x 70%=56%。

獨(dú)立性測(cè)試

上面關(guān)于條件概率和交叉概率的公式給了我們一個(gè)簡(jiǎn)單的方法來(lái)判斷我們是否正在處理兩個(gè)獨(dú)立的事件。由于事件100 A 101和102 B 103在104 P(A B)P(A)105時(shí)是獨(dú)立的,因此從上述公式可以看出,事件106 A 107和108 B 109在以下情況下是獨(dú)立的:

P(A)x P(B)=P(A∩B)

因此,如果我們知道P(A)=0.5,P(B)=0.6和P(A∩B)=0.2,我們可以確定這些事件不是獨(dú)立的。我們知道這一點(diǎn)是因?yàn)?em>P(A)x P(B)=0.5 x 0.6=0.3。這不是AB相交的概率。