理解對(duì)稱差的定義
集合理論使用許多不同的操作來從舊集合構(gòu)建新集合。有多種方法可以從給定集合中選擇某些元素，同時(shí)排除其他元素。結(jié)果通常是與原始結(jié)果不同的集合。重要的是要有明確定義的方法來構(gòu)建這些新集合，其中的例子包括兩個(gè)集合的并集，交集和差異。一個(gè)可能不太為人所知的集合操作稱為對(duì)稱差。
對(duì)稱差異定義
要理解對(duì)稱差的定義，我們必須首先理解單詞'or。'雖然很小，但單詞'or'在英語中有兩種不同的用途。它可以是排他性的或包容性的（它只是在這句話中專門使用）。如果我們被告知可以從A或B中選擇，并且意義是排他性的，那么我們可能只有兩個(gè)選項(xiàng)中的一個(gè)。如果意義是包容性的，那么我們可能有A，我們可能有B，或者我們可能同時(shí)有A和B。
通常情況下，上下文指導(dǎo)我們?cè)谟龅竭@個(gè)詞時(shí)，或者我們甚至不需要考慮它被使用的方式。如果我們被問到我們的咖啡是否喜歡奶油或糖，這顯然意味著我們可能同時(shí)擁有這兩種。在數(shù)學(xué)中，我們想消除歧義。所以數(shù)學(xué)中的'or'這個(gè)詞具有包容性。
因此，在聯(lián)盟的定義中，單詞'或'被用于包容性意義。集合A和B的并集是A或B中的元素集合（包括兩個(gè)集合中的那些元素）。但是，具有構(gòu)造a或B中包含元素的集合的集合操作變得值得，其中&##39;or'以排他性意義使用。這就是我們所謂的對(duì)稱差異。集合A和B的對(duì)稱差是A或B中的那些元素，但不是A和B中的元素。雖然符號(hào)因?qū)ΨQ性而異ic差異，我們將把它寫為AΔB
對(duì)于對(duì)稱差的一個(gè)例子，我們將考慮集合A={1,2,3,4,5}和B={2,4,6}。這些集合之間的對(duì)稱差是{1,3,5,6}。
就其他集合操作而言
其他集合操作可用于定義對(duì)稱差。從上述定義可以清楚地看出，我們可以將A和B的對(duì)稱差表示為A和B的并集以及A和B的交點(diǎn)的差。在符號(hào)中，我們寫下：AΔB=（A∪B）-（A∪B）。
使用一些不同的集合操作的等效表達(dá)式有助于解釋名稱對(duì)稱差異。我們可以不使用上述公式來寫出對(duì)稱差，如下所示：（A–B）∪（B–A）。在這里我們?cè)俅慰吹?，?duì)稱差是A中的元素集合，但不是B，或者是B而不是A.因此我們排除了A和B交集中的這些元素?？梢杂脭?shù)學(xué)證明這兩個(gè)公式是等價(jià)的，指的是同一組
名稱對(duì)稱差
名稱對(duì)稱差異表明與兩組差異的連接。這種差異在上面的北京科普公司兩個(gè)公式中都很明顯。在它們的每一個(gè)中，計(jì)算了兩組的差異。除了差異之外，對(duì)稱差異的原因是它的對(duì)稱性。通過構(gòu)造，可以改變A和B的角色。這對(duì)于兩組之間的差異是不正確的。
為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，只需幾點(diǎn)工作，我們將看到對(duì)稱差的對(duì)稱性，因?yàn)槲覀兛吹?em>aΔB=（a–B）∪（B–a）=（B–a）∪（a–B）=BΔa。
