伽瑪函數(shù)是什么?

伽瑪函數(shù)是一個有點(diǎn)復(fù)雜的函數(shù)。這個函數(shù)用于數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)。它可以被認(rèn)為是一種概括因子的方法。

作為函數(shù)的階乘函數(shù)

我們在數(shù)學(xué)生涯的早期就知道,為非負(fù)整數(shù)n定義的階乘是描述重復(fù)乘法的一種方法。它用感嘆號表示。例如:

三!=3 x 2 x 1=6和5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1=120。

這個定義的一個例外是零因子,其中0!=1。當(dāng)我們查看階乘的這些值時,我們可以將nn!配對!。這將給我們分(0,1),(1,1),(2,2),(3,6),(4,24),(***0),(6720)等。

如果我們繪制這些要點(diǎn),我們可能會問一些問題:

  • 有沒有辦法連接點(diǎn)并填寫圖表以獲取更多值?
  • 是否有一個函數(shù)與非負(fù)整數(shù)的階乘相匹配,但是在實(shí)數(shù)的較大子集上定義。

這些問題的答案是“伽瑪函數(shù)”

伽瑪函數(shù)的定義

伽瑪函數(shù)的定義非常復(fù)雜。它涉及一個看起來非常奇怪的復(fù)雜公式。伽瑪函數(shù)在其定義中使用一些微積分,以及數(shù)字e與更熟悉的函數(shù)(如多項(xiàng)式或三角函數(shù))不同,伽瑪函數(shù)被定義為另一個函數(shù)的不適當(dāng)積分。

伽瑪函數(shù)由希臘字母表中的大寫字母伽瑪表示。這看起來如下:Γ(z

伽馬函數(shù)的特征61,62

伽瑪函數(shù)的定義可用于演示許多身份。其中最重要的是((64 z 65+1)66>zΓ(z)。我們可以使用這個,并且直接計(jì)算中Γ(1)=1的事實(shí):

Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=(n家裝風(fēng)水常識-1)(n-2)Γ(n-2)=(n-1)!

上述公式建立了階乘函數(shù)和伽馬函數(shù)之間的聯(lián)系。這也給了我們另一個原因,為什么將零因子的值定義為等于1是有意義的。

但我們不需要在伽瑪函數(shù)中僅輸入整數(shù)。任何不是負(fù)整數(shù)的復(fù)數(shù)都在伽瑪函數(shù)的域中。這意味著我們可以將因子擴(kuò)展到非負(fù)整數(shù)以外的數(shù)字。在這些值中,最著名(和令人驚訝)的結(jié)果之一是Γ(1/2)=√π。

另一個類似于**一個的結(jié)果是Γ(1/2)=-2π。實(shí)際上,當(dāng)將1/2的奇數(shù)倍數(shù)輸入到函數(shù)中時,伽瑪函數(shù)總是產(chǎn)生pi的平方根的倍數(shù)的輸出。

使用伽瑪函數(shù)

伽瑪函數(shù)出現(xiàn)在許多看似無關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。特別是,伽瑪函數(shù)提供的階乘的推廣在一些組合和概率問題中是有幫助的。一些概率分布是根據(jù)伽馬函數(shù)直接定義的。例如,伽馬分布以伽馬函數(shù)表示。這種分布可以用來模擬地震之間的時間間隔。學(xué)生's t分布,可用于我們有未知總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的數(shù)據(jù),卡方分布也用伽馬函數(shù)定義。

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