如何推導(dǎo)組合公式
在看到教科書(shū)上印刷或老師在板上書(shū)寫的公式后,有時(shí)令人驚訝地發(fā)現(xiàn),許多這些公式可以從一些基本的定義和仔細(xì)的思考中得出。在檢查組合公式時(shí),概率尤其如此。這個(gè)公式的推導(dǎo)實(shí)際上只是依賴于乘法原理。
乘法原理
假設(shè)有一項(xiàng)任務(wù)要做,這個(gè)任務(wù)總共分為兩個(gè)步驟。第一步可以以k的方式完成,第二步可以以n的方式完成。這意味著將這些數(shù)字相乘在一起后,執(zhí)行任務(wù)的方式數(shù)量nk。
例如,如果您有十種冰淇淋可供選擇,三種不同的藥水,您可以制作多少一勺,一個(gè)藥水周日?乘以10得到30個(gè)星期日。
形成排列
現(xiàn)在,使用乘法原理來(lái)推導(dǎo)取自一組n元素的r元素的組合數(shù)的公式。令P(n,r)表示來(lái)自一組n和C(n,r)r元素的置換數(shù)>表示來(lái)自一組n元素的r元素的組合數(shù)。
考慮從總共n形成r個(gè)元素的排列時(shí)會(huì)發(fā)生什么。把這個(gè)看作是一個(gè)兩步過(guò)程。首先,從一組n中選擇一組r元素。這是一個(gè)組合,有C(n,r)方法可以做到這一點(diǎn)。該過(guò)程的第二步是對(duì)r元素進(jìn)行排序,其中第一個(gè)選擇r,第二個(gè)選擇r-1,r-2,倒數(shù)第二個(gè)選擇2個(gè),**一個(gè)選擇1個(gè)。根據(jù)乘法原理,有rx(r-1)x。x 2 x 1=r!方法來(lái)做到這一點(diǎn)。這個(gè)公式是用因子符號(hào)寫成的。
公式
的推導(dǎo)為了概括,P(n,r),從總共中形成r元素排列的方式數(shù)量n由下式確定:
- 在C(n,中的任何一個(gè)中,在總共n中形成r元素的組合r)方式
- 排序這些r元素r中的任何一個(gè)!方式。
通過(guò)乘法原理,形成置換的方式的數(shù)目是P(n,r)=C(n,r)xr!。
使用置換公式P(n,r)=n!/(n-r)!,可以代入上述公式青春期健康知識(shí)講座:
n!/(n-r)!=C(n,r)r!。
現(xiàn)在解決這個(gè)問(wèn)題,組合的數(shù)量,C(n,r),并看到C(n,r)=n!/[r?。?em>n-r)!].
如圖所示,一點(diǎn)點(diǎn)思想和代數(shù)可以走很長(zhǎng)的路。概率和統(tǒng)計(jì)中的其他公式也可以通過(guò)仔細(xì)應(yīng)用定義來(lái)推導(dǎo)出來(lái)。