計(jì)算隨機(jī)選擇素?cái)?shù)的概率

數(shù)字理論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，與整數(shù)集合有關(guān)。我們通過(guò)這樣做來(lái)限制自己，因?yàn)槲覀儾恢苯友芯科渌麛?shù)字，例如輻照度。但是，使用其他類型的實(shí)數(shù)。除此之外，概率主題與數(shù)論有許多聯(lián)系和交叉點(diǎn)。其中一個(gè)連接與素?cái)?shù)的分布有關(guān)。更具體地說(shuō)，我們可能會(huì)問(wèn)，從1到x隨機(jī)選擇的整數(shù)是素?cái)?shù)的概率是多少？

假設(shè)和定義

與任何數(shù)學(xué)問(wèn)題一樣，重要的是不僅要了解正在做出的假設(shè)，還要了解問(wèn)題中所有關(guān)鍵術(shù)語(yǔ)的定義。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們正在考慮正整數(shù)，意思是整數(shù)1,2,3。最多幾個(gè)數(shù)字x。我們正在隨機(jī)選擇其中一個(gè)數(shù)字，這意味著所有x都有可能被選中。

我們正在嘗試確定選擇素?cái)?shù)的概率。因此，我們需要了解素?cái)?shù)的定義。素?cái)?shù)是一個(gè)正整數(shù)，它有兩個(gè)因子。這意味著素?cái)?shù)的**分裂是1和數(shù)字本身。所以2,3和5是素?cái)?shù)，但4,8和12不是素?cái)?shù)。我們注意到，因?yàn)樗財(cái)?shù)中必須有兩個(gè)因子，所以數(shù)字1是而不是素?cái)?shù)。

低數(shù)

對(duì)于低數(shù)字x，解決此問(wèn)題很簡(jiǎn)單。我們需要做的就是簡(jiǎn)單地計(jì)算小于或等于x的素?cái)?shù)。我們將小于或等于x的素?cái)?shù)除以數(shù)字x。

例如，要找到從1到10中選擇素?cái)?shù)的概率，需要我們將素?cái)?shù)從1到10除以10。數(shù)字2,3,5，7是素?cái)?shù)，因此選擇素?cái)?shù)的概率是4/10=40%。

可以以類似的方式找到從1到50中選擇素?cái)?shù)的概率。小于50的素?cái)?shù)是：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43和47。有15個(gè)素?cái)?shù)小于或等于50。因此，隨機(jī)選擇素?cái)?shù)的概率是15/50=30%。

只要我們有一系列素?cái)?shù)，就可以通過(guò)簡(jiǎn)單地計(jì)算素?cái)?shù)來(lái)執(zhí)行此過(guò)程。例如，有25個(gè)小于或等于100的素?cái)?shù)。（因此，從1到100隨機(jī)選擇的數(shù)字是素?cái)?shù)的概率是25/100=25%。）但是，如果我們沒(méi)有素?cái)?shù)列表，那么確定素?cái)?shù)集可能在計(jì)算上令人望而生畏。小于或等于給定的數(shù)字x。

素?cái)?shù)定理

如果您沒(méi)有小于或等于x的素?cái)?shù)計(jì)數(shù)，則有另一種方法可以解決此問(wèn)題。該解決方案涉及稱為素?cái)?shù)定理的數(shù)學(xué)結(jié)果。這是關(guān)于素?cái)?shù)總體分布的聲明，可用于近似我們?cè)噲D確定的概率。

素?cái)?shù)定理指出，大約有x/ln（x）素?cái)?shù)小于或等于x。這里ln（x）表示x的自然對(duì)數(shù)，換句話說(shuō)，對(duì)數(shù)的基數(shù)e健康知識(shí)題庫(kù)答案。隨著78 x 79值的增加，近似值提高，從某種意義上說(shuō)，我們看到小于80 x 81的素?cái)?shù)和表達(dá)式82 x 83/ln（84 x 85）之間的相對(duì)誤差減小。

素?cái)?shù)定理的應(yīng)用

我們可以使用素?cái)?shù)定理的結(jié)果來(lái)解決我們?cè)噲D解決的問(wèn)題。我們通過(guò)素?cái)?shù)定理知道t以下是小于或等于x的大約x/ln（x）素?cái)?shù)。此外，總共有x正整數(shù)小于或等于x。因此，在這個(gè)范圍內(nèi)隨機(jī)選擇的數(shù)字為prime的概率為（104 x 105/ln（106 x 107））/（108 x 109 1/ln（110 x 111）。

示例

我們現(xiàn)在可以使用這個(gè)結(jié)果來(lái)近似從前十億個(gè)整數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)素?cái)?shù)的概率。我們計(jì)算10億的自然對(duì)數(shù)，看到ln（100000000）約為20.7，1/ln（100000000）約為0.0483。因此，我們有大約4.83%的概率從前十億個(gè)整數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)素?cái)?shù)。