隨機變量的矩生成函數(shù)

計算概率分布的均值和方差的一種方法是找到隨機變量XX2的期望值。我們使用符號EX)和EX2)來表示這些期望值。通常,很難直接計算EX)和EX2)。為了克服這個困難,我們使用一些更先進的數(shù)學理論和微積分。最終結(jié)果是使我們的計算更容易。

這個問題的策略是定義一個新的變量t的新函數(shù),稱為矩生成函數(shù)。這個函數(shù)允許我們通過簡單地求導數(shù)來計算矩。

假設

在定義時刻生成功能之前,我們首先用符號和定義設置階段。我們讓X是一個離散的隨機變量。該隨機變量具有概率質(zhì)量函數(shù)fx)。我們正在使用的樣本空間將用S表示。

我們不想計算X的期望值,而是要計算與X相關(guān)的指數(shù)函數(shù)的期望值。如果存在正實數(shù)r,使得EEtX)存在并且對所有t是有限的在區(qū)間[-rr],那么我們可以定義X的矩生成函數(shù)。

定義

矩生成函數(shù)是上面指數(shù)函數(shù)的期望值。換句話說,我們說X的矩生成函數(shù)由下式給出:

Mt)=EEtX

這個期望值是公式∑etxfx),其中求和取自所有x在樣本空間S。這可以是有限或無限和,取決于所使用的樣本空間。

屬性

矩生成函數(shù)具有許多與概率和數(shù)學統(tǒng)計中的其他主題連接的功能。其中一些最重要的功能包括:

  • 系數(shù)etbX=b的概率。
  • 矩生成函數(shù)具有**性屬性。如果兩個隨機變量的矩生成函數(shù)相互匹配,則概率質(zhì)量函數(shù)必須相同。換句話說,隨機變量描述相同的概率分布。
  • 矩生成函數(shù)可用于計算X。
  • 的矩

計算矩

上面列表中的**一項解釋了時刻生成功能的名稱及其實用性。一些先進數(shù)學指出,在我們制定的條件下,當t=0時,存在任何階函數(shù)Mt)的導數(shù)。此外,在這種情況下,我們可以改變求和和和微分的順序相對于156 t 157,以獲得以下公式(所有求和都超過了樣本空間中158 x 159的值160 S 161):

  • M'(t)=∑xetxfx
  • M'(t)=∑x2etxtxtt)=xetxfx
  • x2ee''(t)=∑x3etxfx
  • M(n)'(t)=∑xnetxfx

如果我們在上述公式中設置t=0,則etx項變?yōu)?em>e0=1。因此,我們得到了mo的公式隨機變量X

    (0)253 E 254(255 X 252525257 258 259 M M 260(0)261 E 262(263 X X 264 X 264 X 265 2 266)267(0)261 E E 262(263 X X X 264 X 264 X 265 2 266)267>
  • '(0)E 272(0)2525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525252525>n(0)=EXn

這意味著,如果特定隨機變量存在矩生成函數(shù),那么我們可以找到它的均值及其在矩生成函數(shù)導數(shù)方面的方差。平均值M'(0),方差M'(0)–[M'(0)]2。

摘要

311總而言之,我們不得不蹣跚于一些非常強大的數(shù)學,所以有些東西被戴上手套。雖然我們必須在上面使用微積分,但最終科普課程,我們的數(shù)學工作通常比直接從定義中計算矩更容易。