科普寫作 平方和公式快捷方式

樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算通常表示為分?jǐn)?shù)。該分?jǐn)?shù)的分子涉及與平均值的平方偏差之和。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,這個(gè)總平方和的公式是

∑(x-x?)2

這里符號(hào)x?是指樣本均值,符號(hào)∑告訴我們將所有i的平方差(x-x?)相加。

雖然此公式適用于計(jì)算,但有一個(gè)等效的快捷公式不要求我們首先計(jì)算樣本均值。平方和的快捷公式是

∑(x2)-(∑x)2/n

這里變量n是指樣本中的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)公式示例

要查看此快捷方式公式的工作原理,我們將考慮一個(gè)使用兩個(gè)公式計(jì)算的示例。假設(shè)我們的樣本是2,4,6,8。樣本平均值是(2+4+6+8)/4=20/4=5?,F(xiàn)在我們用平均值5計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的差值。

  • 2–5=-3
  • 4–5=-1
  • 6–5=1
  • 8–5=3

我們現(xiàn)在將這些數(shù)字中的每一個(gè)平方并將它們加在一起。(-3)2+(-1)2+12+32=9+1+9=20。

快捷公式示例

現(xiàn)在,我們將使用相同的數(shù)據(jù)集:2、4、6、8,并使用快捷公式確定平方和。我們首先對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行平方并將它們加在一起:22+42+62+82=4+16+36+64=120。

下一步是將所有數(shù)據(jù)加在一起并將該總和平方:(2+4+6+8)2=400。我們將其除以數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量以獲得400/4=100。

我們現(xiàn)在從120中減去這個(gè)數(shù)字。這給我們平方偏差的總和是20。這正是麻木我們已經(jīng)從另一個(gè)公式中找到了。

這是如何工作的?

許多人只會(huì)接受面值的公式,并不知道這個(gè)公式為何起作用。通過使用一點(diǎn)點(diǎn)代數(shù),我們可以看出為什么這個(gè)捷徑公式相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)的傳統(tǒng)計(jì)算平方偏差之和的方法。

盡管現(xiàn)實(shí)世界數(shù)據(jù)集中可能有數(shù)百個(gè)(如果不是數(shù)千個(gè))值,但我們將假設(shè)只有三個(gè)數(shù)據(jù)值:x,x,x。我們?cè)谶@里看到的可以擴(kuò)展到具有數(shù)千個(gè)的數(shù)據(jù)集的點(diǎn)。

我們首先注意到(x+x+x)=3 x?。表達(dá)式∑(x-x?)2=(x-x?)2+(x-x?)2+(x-x?)2

我們現(xiàn)在使用基本代數(shù)中的事實(shí):(a+b)2=a2+2ab+b2知識(shí)產(chǎn)權(quán)與健康中國(guó)觀后感。這意味著(x-x?)2=x2-2x x?+x?2科普寫作。我們這樣做是為了我們總結(jié)的另外兩個(gè)條件,我們有:

x2-2x x?+x?2+x2-2x x?+x?2+x2-2x x?+x?2

我們重新排列并有:

x2+x2+x2+3x?2-2x?(x+x+x)。

通過重寫(x+x+x)=3x?,上面變成:

x2+x2+x2-3x?2。

現(xiàn)在,由于3x?2=(x+x+x)2/3,我們的公式變?yōu)椋?/p>

x 192 2 193+x 194 2 195+x 196 2 197-(x+x+x)198 2 199/3

這是上面提到的通式的特例:

∑(x2)-(∑x)2/n

這真的是捷徑嗎?

似乎這個(gè)公式并不是真正的捷徑。畢竟,在上面的例子似乎有同樣多的計(jì)算。部分原因與我們只看了一個(gè)很小的樣本量有關(guān)。

隨著我們?cè)黾訕颖镜拇笮?,我們看到快捷公式將?jì)算數(shù)量減少了大約一半。我們不需要從每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)減去平均值,然后將結(jié)果平方。這**減少了業(yè)務(wù)總數(shù)。