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伽瑪函數(shù)的計(jì)算

來(lái)源:教育資源網(wǎng) ? 發(fā)布時(shí)間:2020-12-05 08:00:26 ? 點(diǎn)擊:488

伽瑪函數(shù)由以下復(fù)雜的外觀公式定義：

Γ（z）=∫∞e-ttz-1dt

人們第一次遇到這個(gè)令人困惑的等式時(shí)遇到的一個(gè)問(wèn)題是：“你如何使用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算伽瑪函數(shù)的值？“這是一個(gè)重要的問(wèn)題，因?yàn)楹茈y知道這個(gè)功能意味著什么，以及所有的符號(hào)都是什么。

回答這個(gè)問(wèn)題的一種方法是用伽瑪函數(shù)查看幾個(gè)樣本計(jì)算。在我們這樣做之前，我們必須知道一些來(lái)自微積分的東西，例如如何整合I型不恰當(dāng)?shù)姆e分，以及e是一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)。

動(dòng)機(jī)

在進(jìn)行任何計(jì)算之前，我們檢查這些計(jì)算背后的動(dòng)機(jī)。很多時(shí)候伽瑪函數(shù)出現(xiàn)在場(chǎng)景后面。根據(jù)伽瑪函數(shù)陳述了幾個(gè)概率密度函數(shù)。這些例子包括伽瑪分布和學(xué)生t分布，伽瑪函數(shù)的重要性不容小視。

Γ（1）

我們將研究的第一個(gè)示例計(jì)算是找到Γ（1）的伽馬函數(shù)的值。這可以通過(guò)在上述公式中設(shè)置z=1來(lái)找到：

∫∞e-tdt

我們分兩步計(jì)算上述積分：

    60>不定積分∫e-tdt=-e-t+C
  • 這是一個(gè)不恰當(dāng)?shù)姆e分，所以我們有∫∞e-tdt=lim-e-b+e0=1

Γ（2）

我們將考慮的下一個(gè)例子計(jì)算與**一個(gè)例子類(lèi)似，但是我們將96 z 97的值增加1.我們現(xiàn)在通過(guò)設(shè)置98 z 99 2來(lái)計(jì)算γ函數(shù)的值在上面的公式中。步驟與上述相同：

Γ（2）=∫∞e科普小說(shuō)-tt dt

不定積分∫te-tdt=-te-t-e-t+C。雖然我們只將z的值增加了1，但計(jì)算這個(gè)積分需要更多的工作。為了找到這個(gè)積分，我們必須使用一種稱(chēng)為逐個(gè)積分的微積分技術(shù)。我們現(xiàn)在使用如上所述的積分限制，需要計(jì)算：

lim-be-b-e-b-0e0+e0。

被稱(chēng)為L(zhǎng)'Hospital規(guī)則的微積分結(jié)果允許我們計(jì)算極限lim-be-b=0。這意味著我們上面積分的值是1。

Γ（z+1）=zΓ（z）

伽馬函數(shù)的另一個(gè)特征是公式Γ（z+1）=zΓ（z）z任何具有正實(shí)部的復(fù)數(shù)。這是真的原因是伽馬函數(shù)公式的直接結(jié)果。通過(guò)部分集成，我們可以建立伽瑪函數(shù)的此屬性。

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