為什么函數(shù)可以用級(jí)數(shù)表示，這有什么意義
為什么函數(shù)可以用級(jí)數(shù)表示，這有什么意義
<<傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式>>設(shè)f(t)為一非正弦周期函數(shù)，其周期為t，頻率和角頻率分別為f,ω1。由于工程實(shí)際中的非正弦周期函數(shù)，一般都滿足狄里赫利條件，所以可將它展開成傅里葉級(jí)數(shù)。
即其中a0/2稱為直流分量或恒定分量;其余所有的項(xiàng)是具有不同振幅，不同初相角而頻率成整數(shù)倍關(guān)系的一些正弦量。
a1cos(ω1t+ψ1)項(xiàng)稱為一次諧波或基波，a1，ψ1分別為其振幅和初相角;a2cos(ω2t+ψ2)項(xiàng)的角頻率為基波角頻率ω1的2倍，稱為二次諧波，a2，ψ2分別為其振幅和初相角;其余的項(xiàng)分別稱為三次諧波，四次諧波等?；?，三次諧波，五次諧波……統(tǒng)稱為奇次諧波;二次諧波，四次諧波……統(tǒng)稱為偶次諧波;除恒定分量和基波外，其余各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波。式（10-2-1）說明一個(gè)非正弦周期函數(shù)可以表示一個(gè)直流分量與一系列不同頻率的正弦量的疊加。上式有可改寫為如下形式，即當(dāng)a0，an,ψn求得后，代入式(10百科-2-1)，即求得了非正弦周期函數(shù)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。
把非正弦周期函數(shù)f(t)展開成傅里葉級(jí)數(shù)也稱為諧波分析。工程實(shí)際中所遇到的非正弦周期函數(shù)大約有十余種，它們的傅里葉級(jí)數(shù)展開式前人都已作出，可從各種數(shù)學(xué)書籍中直接查用。從式（10-2-3）中看出，將n換成(-n)后即可證明有a-n=anb-n=-bna-n=anψ-n=-ψn即an和an是離散變量n的偶函數(shù)，bn和ψn是n的奇函數(shù)。
二．傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式將式（10-2-2）改寫為可見與互為共軛復(fù)數(shù)。代入式（10-2-4）有上式即為傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式。下面對和上式的物理意義予以說明：由式（10-2-5）得的模和輻角分別為可見的模與幅角即分別為傅里葉級(jí)數(shù)第n次諧波的振幅an與初相角ψn，物理意義十分明確，故稱為第n次諧波的復(fù)數(shù)振幅。
的求法如下：將式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有上式即為從已知的f(t)求的公式。這樣我們即得到了一對相互的變換式（10-2-8）與（10-2-7），通常用下列符號(hào)表示，即即根據(jù)式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再將所求得的代入式（10-2-7），即將f(t)展開成了復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)。在（10-2-7）中，由于離散變量n是從（-∞）取值，從而出現(xiàn)了負(fù)頻率（-nω1）。
但實(shí)際工程中負(fù)頻率是無意義的，負(fù)頻率的出現(xiàn)只具有數(shù)學(xué)意義，負(fù)頻率（-nω1）一定是與正頻率nω1成對存在的，它們的和構(gòu)成了一個(gè)頻率為nω1的正弦分量。即引入傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)形式的好處有二：（1）復(fù)數(shù)振幅同時(shí)描述了第n次諧波的振幅an和初相角ψn;（2）為研究信號(hào)的頻譜提供了途徑和方便。高等數(shù)學(xué)中的傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉系數(shù)傅立葉系數(shù)包括系數(shù)，積分號(hào)和它的積分域，以及里面的兩個(gè)周期函數(shù)的乘積——其中一個(gè)是關(guān)于f的，另一個(gè)是關(guān)于x的函數(shù)f(x),另一個(gè)則是和級(jí)數(shù)項(xiàng)n有關(guān)的三角函數(shù)值。這個(gè)三角函數(shù)可以是正弦，也可以是余弦，因此傅立葉系數(shù)包括正弦系數(shù)和余弦系數(shù)。
其中當(dāng)n=0時(shí)，余弦值為1，此時(shí)存在一個(gè)特殊的系數(shù)，它只與x有關(guān)。正弦系數(shù)再成一個(gè)正弦，余弦再乘一個(gè)余弦，相加并且隨n求和，再加上一半的，就稱為了這個(gè)特別的函數(shù)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)。為什么它特別呢，我想因?yàn)檫@里只有它只限于一個(gè)周期函數(shù)而已，而級(jí)數(shù)的周期就是f(x)的周期，2。如果函數(shù)f(x)存在一個(gè)周期，但是不是2了，而是關(guān)于y軸對稱的任意一個(gè)范圍，它還能寫成傅立葉級(jí)數(shù)么？也可以的。
只要把傅立葉系數(shù)里的換成l，并且把積分號(hào)里的三角函數(shù)中的n下除一個(gè)l，同時(shí)把系數(shù)以外的那個(gè)n底下也除一個(gè)l。其他的都不動(dòng)。也可以認(rèn)為，2周期的傅立葉級(jí)數(shù)其實(shí)三角函數(shù)中x前面的系數(shù)應(yīng)該是，其他的（積分域和系數(shù)）應(yīng)該是x，只不過這時(shí)所有的l都是罷了。前面提及了，周期或是積分域，是關(guān)于y軸的一個(gè)任意范圍。
其實(shí)周期函數(shù)不用強(qiáng)調(diào)這個(gè)，但是為什么還要說呢？因?yàn)橐貏e強(qiáng)調(diào)一下定義域是滿的。有些函數(shù)的定義域不是滿的，是0到l，當(dāng)然這樣它有可能不是周期的。這些函數(shù)能寫成傅立葉級(jí)數(shù)么？同樣可以。
而且，它的寫法不再是正弦和余弦函數(shù)的累積，而是單獨(dú)的一個(gè)正弦函數(shù)或是余弦函數(shù)。具體怎么寫，就取決于怎么做。因?yàn)橛蚴且话氲?，所以自然而然想到把那一半補(bǔ)齊，f就成了周期函數(shù)。
補(bǔ)齊既可以補(bǔ)成奇函數(shù)也可以補(bǔ)成偶函數(shù)。補(bǔ)成積函數(shù)，寫成的級(jí)數(shù)只有正弦項(xiàng)，即為0。補(bǔ)成偶函數(shù)，寫成的級(jí)數(shù)就只含有余弦項(xiàng)和**項(xiàng)，即為0。而，傅立葉系數(shù)相比非積非偶的函數(shù)要大一倍。
其實(shí)，如果不經(jīng)延拓，上面那些對于奇偶函數(shù)同樣使用。在做題時(shí)，常?？吹郊?jí)數(shù)后面跟著一個(gè)系數(shù)還有一個(gè)正弦函數(shù)，然后后面給出了這個(gè)系數(shù)很復(fù)雜的一串式子，這時(shí)候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)那個(gè)系數(shù)不過是一個(gè)有積分的傅立葉系數(shù)而已。
那么一大串，應(yīng)該看什么呢？應(yīng)當(dāng)先看積分域，一下就可以定出周期了。第二步要明確級(jí)數(shù)和函數(shù)的關(guān)系即等價(jià)關(guān)系。函數(shù)不但包含在級(jí)數(shù)中，而且函數(shù)本身也是和級(jí)數(shù)等價(jià)的。但一般那個(gè)級(jí)數(shù)里的函數(shù)是一個(gè)擺設(shè)，不起什么作用。
三角函數(shù)的定義是什么
三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一。
是以角度（數(shù)學(xué)上最常用弧度制，下同）為自變量，角度對應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。
也可以等價(jià)地用與單位圓有關(guān)的各種線段的長度來定義。
三角函數(shù)在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時(shí)有重要作用，也是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。在數(shù)學(xué)分析中，三角函數(shù)也被定義為無窮級(jí)數(shù)或特定微分方程的解，允許它們的取值擴(kuò)展到任意實(shí)數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。
常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學(xué)、測繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中，還會(huì)用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。
不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計(jì)算得出，稱為三角恒等式。
三角函數(shù)一般用于計(jì)算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導(dǎo)航、工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數(shù)為模版，可以定義一類相似的函數(shù)，叫做雙曲函數(shù)。
常見的雙曲函數(shù)也被稱為雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)等等。
擴(kuò)展資料：
三角函數(shù)的起源：
早期對于三角函數(shù)的研究可以追溯到古代。古希臘三角術(shù)的奠基人是公元前2世紀(jì)的喜帕恰斯。
他按照古巴比倫人的做法，將圓周分為360等份（即圓周的弧度為360度，與現(xiàn)代的弧度制不同）。對于給定的弧度，他給出了對應(yīng)的弦的長度數(shù)值，這個(gè)記法和現(xiàn)代的正弦函數(shù)是等價(jià)的。
喜帕恰斯實(shí)際上給出了最早的三角函數(shù)數(shù)值表。
然而古希臘的三角學(xué)基本是球面三角學(xué)。這與古希臘人研究的主體是天文學(xué)有關(guān)。梅涅勞斯在他的著作《球面學(xué)》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。
古希臘三角學(xué)與其天文學(xué)的應(yīng)用在埃及的托勒密時(shí)代達(dá)到了高峰，托勒密在《數(shù)學(xué)匯編》（Syntaxis Mathematica）中計(jì)算了36度角和72度角的正弦值，還給出了計(jì)算和角公式和半角公式的方法。
托勒密還給出了所有0到180度的所有整數(shù)和半整數(shù)弧度對應(yīng)的正弦值。
為什么函數(shù)能展開成三角級(jí)數(shù)？
新年好！Happy Chinese New Year ！1、三角函數(shù)中，只有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，是oscillation的周期性波動(dòng)函數(shù);2、由于它們在正負(fù)之間的波動(dòng)，使得它們在疊加時(shí)有constructive加強(qiáng)，跟 distructive抵消。當(dāng)無數(shù)個(gè)頻率不同、振幅不同的正弦、余弦函數(shù)在一起 疊加時(shí)，有些地方可能很明顯，有些地方會(huì)很微弱。
3、在波動(dòng)光學(xué)中，我們都知道有干涉interference跟衍射diffraction。
波動(dòng)學(xué) 的成功就在于相長、相消。它們的原理跟傅里葉級(jí)數(shù)的展開正好是一個(gè)事 情的兩方面的表現(xiàn)。但是傅里葉級(jí)數(shù)展開后的應(yīng)用就跟解釋波動(dòng)光學(xué)是一 樣的原理了。4、由于e的出現(xiàn)，使得代數(shù)跟對數(shù)、三角函數(shù)，掛上了鉤，建立了聯(lián)系。
由于 麥克勞林級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)的出現(xiàn)，任何函數(shù)都可以展開成代數(shù)函數(shù)。由于 傅里葉級(jí)數(shù)的出現(xiàn)，任何函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成正弦函數(shù)、余弦函數(shù)。5、西洋科學(xué)的成功，就在于定量，跟在于融為一體。
我們學(xué)波動(dòng)學(xué)時(shí)，有一 個(gè)詞語是 superposition，我們翻譯成 “疊加原理”，我們就滿足了。其實(shí)， 我們的翻譯是很膚淺的，我們的笑點(diǎn)是很低的。同樣，我們學(xué)極限時(shí)， 我們強(qiáng)調(diào)了limitation，會(huì)算就滿足了。
但是我們卻大大咧咧地忽視了極限 理論中的tendency的渲染。這些都是methodology的問題，我們研究方法 論的學(xué)者都是文科出身，學(xué)哲學(xué)的出身、、、、迄今依然把mataphysics 當(dāng)成形而上學(xué)在批判。、、、、6、要全方位解答樓主的這一問題，涉及很多方面，最根本的是我們的思想方法。
談多了，會(huì)成為眾矢之的。以上觀點(diǎn)僅供參考，歡迎討論，歡迎匡正，歡迎批評。
三角函數(shù)為什么叫做三角函數(shù)？
因?yàn)樗鼈兊谋举|(zhì)是任何角的**與一個(gè)比值的**的變量之間的映射。
通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的。
其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域。
另一種定義是在直角三角形中，但并不完全?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。
常見的三角函數(shù)包括：
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學(xué)、測繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中，還會(huì)用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。
不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計(jì)算得出，稱為三角恒等式。
三角函數(shù)一般用于計(jì)算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導(dǎo)航、工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數(shù)為模版，可以定義一類相似的函數(shù)，叫做雙曲函數(shù)。
常見的雙曲函數(shù)也被稱為雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)等等。
三角函數(shù)（也叫做圓函數(shù)）是角的函數(shù);它們在研究三角形和建模周期現(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的。三角函數(shù)通常定義為包含這個(gè)角的直角三角形的兩個(gè)邊的比率，也可以等價(jià)的定義為單位圓上的各種線段的長度。
更現(xiàn)代的定義把它們表達(dá)為無窮級(jí)數(shù)或特定微分方程的解，允許它們擴(kuò)展到任意正數(shù)和負(fù)數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。
