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拉普拉斯變換怎樣計(jì)算那個(gè)s的公式里面那個(gè)s是什么

拉普拉斯變換是對(duì)于t>=0函數(shù)值不為零的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)通過關(guān)系式

(式中-st為自然對(duì)數(shù)底e的指數(shù))變換為復(fù)變量s的函數(shù)X(s)。它也是時(shí)間函數(shù)x(t)的“復(fù)頻域”表示方式。

拉普拉斯變換首先是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，在求解微分方程的時(shí)候起到巧妙的作用。

而在不同的工科領(lǐng)域，其物理意義應(yīng)該各有不同。
例如在電路里面，若面對(duì)一個(gè)已經(jīng)穩(wěn)定的電路(無自由分量)，可以對(duì)各種電路元件應(yīng)用拉普拉斯變換，這樣就不再關(guān)注元件的時(shí)域(不關(guān)注某一個(gè)時(shí)刻某個(gè)元件某個(gè)量的大小或者相位)，把所有元件視為類似于電阻的東西，然后分析輸入輸出關(guān)系，求得傳遞函數(shù)。

擴(kuò)展資料

工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。

對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn) 算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí) 數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。
拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計(jì)算簡化。在經(jīng) 典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。

拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用：應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域(s 域)上來表示;**性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。

拉普拉斯變換中的S是個(gè)什么鬼？

A good way of thinking of where the Laplace Transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series. ——Arthur Mattuck (MIT數(shù)學(xué)系返聘教授，原MIT數(shù)學(xué)系主任) 一個(gè)比較好的關(guān)于Laplace變換的解釋方法是從冪級(jí)數(shù)(Power Series)入手。皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵（法語：Pierre-Simon marquis de Laplace），法國**的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他的研究工作對(duì)天體力學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)有舉足輕重的發(fā)展。

他也是拉普拉斯變換和拉普拉斯方程的發(fā)現(xiàn)者，對(duì)數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展具有杰出貢獻(xiàn)。

學(xué)過控制的都知道拉普拉斯變換(Laplace Transform)，但是你們是不是也有疑問，拉普拉斯變換中的 S 到底是個(gè)什么鬼？皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵當(dāng)年為啥就能想出個(gè)這樣的數(shù)學(xué)變換公式？我是自從接觸拉普拉斯變換就一直有這樣的疑問，就感覺這種東西很強(qiáng)行，你沒有理解卻又無法拒絕。直到有**，看了Arthur Mattuck的微分方程才恍然大悟，膜拜大神！我們知道，一個(gè)冪級(jí)數(shù)可以寫為如下形式： (1.1) 如果將 a n 看成一組離散的函數(shù)數(shù)列，則上式也可以寫為： (1.2) 把 a ( n )看成是作為冪級(jí)數(shù)系數(shù)的一組離散函數(shù)，上式就可以看作是函數(shù) A ( x )的構(gòu)造過程，即，只要輸入一個(gè){ a (0), a (1), a (2),?}序列，就可以輸出一個(gè) A ( x )，其中， x 是輸出函數(shù) A ( x )的自變量。現(xiàn)在，舉一個(gè)例子，如果取 a ( n )=1，即{ a (0)=1, a (1)=1, a (2)=1,?}那么我們將得到： (1.3) 有人說上式**等于1/(1- x )，但這么說其實(shí)不準(zhǔn)確，因?yàn)椴⒉皇菍?duì)于所有的 x 上式都成立，只有當(dāng)它是一個(gè)收斂級(jí)數(shù)時(shí)才成立！而式(1.3)中 x 的收斂域?yàn)?-1,1)，所以式(1.3)可以改寫為： (1.4) 再舉一個(gè)例子，如果 a ( n )=1/ n !，則有： (1.5) 在這個(gè)例子里， x 對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立，其實(shí)上式就是 e^x 在 x =0 處的泰勒展開。從上面的例子可以看出，取一個(gè)定義在正整數(shù)或非負(fù)的整數(shù)上的離散函數(shù)，然后進(jìn)行加和操作，結(jié)果卻能夠產(chǎn)生一個(gè)連續(xù)函數(shù)。

注意其中的離散函數(shù) an 的變量為 n ，加和得出的結(jié)果卻是關(guān)于變量 x ?？傊?，這是冪級(jí)數(shù)的一種性質(zhì)，也屬于一種離散求和的情況。假設(shè)讓這個(gè)求和變得連續(xù)而不是離散，即不是讓變量 n =0,1,2,3…，另外定義一個(gè)變量 t ，并且0≤ t ＜∞，即t可以為[0，∞)中的任意實(shí)數(shù)。

如果想用 t 取替代 n ，顯然不能再用上面處理離散序列的辦法在所有實(shí)數(shù)上求和，而是要通過積分。即： (1.6) 我們可以保留這種形式，但是沒有數(shù)學(xué)家喜歡這樣做，而且工程師也很少這樣做，因?yàn)楫?dāng)進(jìn)行積分和微分操作時(shí)，沒有人希望其中包含一個(gè)指數(shù)函數(shù)的底是 x 之類的積分或微分項(xiàng)，這讓人看起來很頭疼。而**方便的是自然底數(shù) e 。

只有 e 才是人們喜歡用來積分或微分的，因?yàn)?對(duì)以自然底數(shù)為底的指數(shù)函數(shù) y = e^ a x 進(jìn)行積分或微分后的結(jié)果還是其本身或僅僅是本身乘以了一個(gè)系數(shù)，滿足該性質(zhì)的函數(shù)世界上僅此一家、別無分店！百科！！想知道e的來源請(qǐng)見《自然底數(shù)e怎么就“自然”了》。因此我們將以 x 為底數(shù)的指數(shù)變換成為以 e 為底數(shù)的指數(shù)形式： (1.7) 現(xiàn)在，我們?cè)倏催@個(gè)積分，顯然，我們寫出這個(gè)積分當(dāng)然希望其可解，或者說收斂。畢竟這是一個(gè)從零到無窮大的廣義積分，我們需要特殊對(duì)待，只有當(dāng) x 是一個(gè)小于1的數(shù)時(shí)該積分才有可能收斂，只有這樣，當(dāng)冪越來越大時(shí)，得到的數(shù)才會(huì)越來越小，所以這里要求 x ＜1。

然后，我們還希望 x 為正值，否則會(huì)遇到負(fù)冪的麻煩，例如當(dāng) x =-1， t =1/2時(shí)，將得到虛數(shù)，這是我們所不愿看到的，所以要求0＜ x ＜1，我們這么做是為了讓積分收斂。那么在這種情況下，ln x 又會(huì)是什么樣的呢？顯然，當(dāng)0＜ x ＜1時(shí)，ln x ＜0。 ln x 這個(gè)變量看起來貌似有點(diǎn)復(fù)雜，我們何不用一個(gè)變量去代替它呢？那么就用 s 吧！現(xiàn)在令 s = -ln x 或- s = ln x ，因?yàn)閘n x ＜0，取- s = ln x 的話， s 就總為正數(shù)了，處理正數(shù)當(dāng)然更符合人們的習(xí)慣。另外，我們用 f ( x )代替 a ( x )，這樣看上去更像我們熟悉的函數(shù)形式。

我們上面各種替換都只是為了修飾，我們將這些替換代入式(1.7)中，得： (1.8) 我們居然通過這種方式得到了Laplace Transform?。。?如果用符號(hào)代替，可以將式寫為： (1.9) 這就是拉普拉斯變換，當(dāng)將一個(gè) t 的函數(shù)輸入，將得到一個(gè)關(guān)于 s 的函數(shù)。另外提一下，這里說的是“ 變換 ”，其實(shí)數(shù)學(xué)中還有一個(gè)概念叫做“ 算子 ”，而變換和算子的最本質(zhì)區(qū)別在于，經(jīng)過“算子”運(yùn)算，變量沒有變，比如微分就是一種典型的算子，而經(jīng)過“變換”運(yùn)算則會(huì)改變變量的形式。