向量數(shù)量積的幾何意義是什么
向量數(shù)量積的幾何意義是什么
向量數(shù)量積的幾何意義：一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影。
向量的數(shù)量積：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起點(diǎn)時(shí)的夾角，很明顯向量的數(shù)量積表示數(shù)，不是向量。
在數(shù)學(xué)中，向量指具有大小和方向的量。
向量數(shù)量積的幾何意義是什么？
向量數(shù)量積的幾何意義：一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影。
定義
兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方向上的投影的乘積
兩向量α與β的數(shù)量積α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是兩向量的模θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π)
若有坐標(biāo)α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)
把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影
因此用數(shù)量積可以求出兩向量的夾角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|
已知兩個(gè)向量A和B,它們的夾角為C,則A的模乘以B的模再乘以C的余弦稱為A與B的數(shù)量積(又稱內(nèi)積、點(diǎn)積。
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即已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b\”·不可省略若用×則成了向量積
擴(kuò)展內(nèi)容：
向量積性質(zhì)
幾何意義及其運(yùn)用
叉積的長(zhǎng)度 |a×b| 可以解釋成這兩個(gè)叉乘向量a,b共起點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成平行四邊形的面積。
據(jù)此有：混合積 [a?b?c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。?[1]
代數(shù)規(guī)則
1.反交換律：a×b= -b×a
2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c
3.與標(biāo)量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
4.不滿足結(jié)合律，但滿足雅可比恒等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
5.分配律，線性性和雅可比恒等式別表明：具有向量加法和叉積的 R3 構(gòu)成了一個(gè)李代數(shù)。
6.兩個(gè)非零向量a和b平行，當(dāng)且僅當(dāng)a×b=0。?[1]
拉格朗日公式
這是一個(gè)**的公式，而且非常有用：
(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
證明過程如下：
二重向量叉乘化簡(jiǎn)公式及證明
可以簡(jiǎn)單地記成“BAC – CAB”。
這個(gè)公式在物理上簡(jiǎn)化向量運(yùn)算非常有效。需要注意的是，這個(gè)公式對(duì)微分算子不成立。
這里給出一個(gè)和梯度相關(guān)的一個(gè)情形：
這是一個(gè)霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一個(gè)有用的拉格朗日恒等式是：
這是一個(gè)在四元數(shù)代數(shù)中范數(shù)乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。?[2]
矩陣形式
給定直角坐標(biāo)系的單位向量i，j，k滿足下列等式：
i×j=k;
j×k=i ;
k×i=j ;
通過這些規(guī)則，兩個(gè)向量的叉積的坐標(biāo)可以方便地計(jì)算出來，不需要考慮任何角度：設(shè)
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k;
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;
則a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數(shù)來表示。
注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數(shù)的乘法。一般而言，若將向量 [a1, a2, a3] 表示成四元數(shù) a1i+ a2j+ a3k，兩個(gè)向量的叉積可以這樣計(jì)算：計(jì)算兩個(gè)四元數(shù)的乘積得到一個(gè)四元數(shù)，并將這個(gè)四元數(shù)的實(shí)部去掉，即為結(jié)果。更多關(guān)于四元數(shù)乘法，向量運(yùn)算及其幾何意義請(qǐng)參看四元數(shù)（空間旋轉(zhuǎn)）。
?[2]
高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數(shù)得到，與上述的四元數(shù)方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質(zhì)：
雙線性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z;(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x;
反交換律：x×y+y×x= 0;
同時(shí)與 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0;
拉格朗日恒等式：|x×y|2 = |x|2 |y|2 – (x·y)2;
不同于三維情形，它并不滿足雅可比恒等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。
向量?jī)?nèi)積的幾何意義
向量的內(nèi)積的幾何意義就是投影，可以理解為A線投影在B線的長(zhǎng)度與B線長(zhǎng)度的乘積。向量?jī)?nèi)積代表兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值相乘后相加，得到的是一個(gè)數(shù)，數(shù)值上等于兩向量長(zhǎng)度積乘以夾角的余弦。
幾何上的應(yīng)用：兩向量外積等于以兩向量為鄰邊的平行四邊形面積，方向?yàn)閮上蛄克谄矫娴姆ň€方向;外積為0，說明兩向量平行。
向量乘積的幾何意義
向量積乘積是一種在向量空間中向量的二元運(yùn)算。與點(diǎn)積不同，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)向量而不是一個(gè)標(biāo)量。
并且兩個(gè)向量的叉積與這兩個(gè)向量和垂直。
其應(yīng)用也十分廣泛，通常應(yīng)用于物理學(xué)光學(xué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中。 方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個(gè)向量所在平面垂直，且遵守右手定則。 表示方法：兩個(gè)向量a和b的叉積寫作a乘b。
向量積的幾何意義..
向量積分兩種。一種是向量的百科內(nèi)積，它避免了向量的矢量性，將繁瑣的矢量性簡(jiǎn)單化，使其向純數(shù)學(xué)計(jì)算靠近，用途也很多，，求三角形面積，線面夾角，線線夾角，二面角，以及有這些問題衍生的問題，比如，將問題與圓錐曲線聯(lián)系等等，這一部分在高考時(shí)相當(dāng)重要。
不要放棄，加油！ 第二種是向量的外積，此部分在高等數(shù)學(xué)里面利用的方面也很多。
希望能幫到你。
