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EMA（指數(shù)平均數(shù)指標(biāo)）到底是什么？

來源:教育資源網(wǎng) ? 發(fā)布時間:2021-05-12 09:57:48 ? 點擊:40

問題

假如我們現(xiàn)在有365天的溫度，要求最近N天的平均溫度值，其中 $N \in [0, 365]$ 。

加權(quán)平均數(shù)

當(dāng)N=365，加權(quán)平均數(shù)為：

$V_{aver} = (\theta_1 + \theta_2 + \theta_{3} + ... + \theta_{365}) \div 365$

指數(shù)加權(quán)平均是一種近似求平均的方法。

指數(shù)加權(quán)平均

$v_{t} = \beta v_{t-1} + (1-\beta) \theta_{t}$

$v_{t}$ : 約等于最近的 $\frac{1}{1-\beta}$ 天的平均溫度值;（為啥是 $\frac{1}{1-\beta}$ 后面再講）。
$\theta_{t}$ ：代表的是第t天的溫度值;
$\beta$ : 可調(diào)節(jié)的超參.

例如： $\beta=0.9$ ，t=100， $v_{100} \approx$ 90到100這十天的平均溫度。

舉例迭代的過程如下：

$v_{0} = 0$

$v_{1} = \beta v_{0} + (1 - \beta) \theta_{1}$

$v_{2} = \beta v_{1} + (1 - \beta) \theta_{2}$

$v_{3} = \beta v_{2} + (1 - \beta) \theta_{3}$

設(shè)置不同的 $\beta$ 會是什么樣子呢?

$\beta = 0.9$ ,代表的是最近10天的平均溫度值,對應(yīng)下圖中的紅線.

$\beta = 0.98$ ,代表的是最近50天的平均溫度值,對應(yīng)下圖中的綠線.

$\beta = 0.5$ ,代表的是最近2天的平均溫度值,對應(yīng)下圖中的黃線,可以看到這時候和每天的溫度值基本就是吻合的.

我們把公式展開一下,看看這個算法是怎么作用于 $\theta_{t}$ 的,以 $v_{100}$ 為例。

$v_{100}= 0.1\theta_{100} + 0.9v_{99} \\ = 0.1\theta_{100} + 0.9( 0.1\theta_{99} + 0.9v_{98}) \\ =... \\ = 0.1\theta_{100} + 0.1 * 0.9 \theta_{99} + 0.1 * 0.9 ^{2}\theta_{98} + ... + 0.1 * 0.9 ^{99}\theta_{1}$

到這里我們就很清楚 $v_{t}$ 實際上是對每天溫度的加權(quán)平均，時間越近，權(quán)重越大，而且是指數(shù)式的，所以叫做指數(shù)加權(quán)平均。假如我們以1/e為一個分界點，認為權(quán)重小于1/e對整個結(jié)果影響很小，權(quán)重指數(shù)衰減到這個值之后的項就可以忽略不計了，那當(dāng) $\beta$ 取值的時候，多久才可以衰減到1/e呢?

考慮以下函數(shù):

$f(\beta) = \beta^{1 / (1 - \beta)}$

$f(0.9) = 0.98^{10}\approx 1/e$

這個時候需要10天可以衰減到1/e

$f(0.98) = 0.98^{50}\approx 1/e$

這個時候需要50天可以衰減到1/e

所以最開始說：

$v_{t}$ ：代表的是第 $\frac{1}{1-\beta}$ 天的溫度值；

應(yīng)用

深度學(xué)習(xí)優(yōu)化算法中應(yīng)用。解決梯度下降算法中收斂過慢的問題。
CTR預(yù)估。如果最開始上線一個位置，數(shù)據(jù)量很小，LR、FTRL訓(xùn)練模型很不好搞得時候可以用MA算法；
異常點平滑。美團外賣的收入監(jiān)控報警系統(tǒng)中的hot-winter就是指數(shù)移動平均算法的升級。