貝葉斯定理的定義和例子
貝葉斯定理是用于概率和統(tǒng)計的數(shù)學(xué)方程式，用于計算條件概率。換句話說，它用于基于事件與另一個事件的關(guān)聯(lián)來計算事件的概率。該定理也稱為貝葉斯定律或貝葉斯定律。
歷史
貝葉斯定理以英國大臣兼統(tǒng)計學(xué)家托馬斯·貝葉斯牧師的名字命名，貝葉斯定理為其工作“解決機會論中的問題的論文”制定了一個等式。在貝葉斯死后，該書稿由理查德·普賴斯（Richard Price）在1763年出版之前進行了編輯和更正。將定理稱為貝葉斯-普賴斯定律會更準確，因為普里斯的貢獻很重要。該方程的現(xiàn)代公式是由法國數(shù)學(xué)家Pierre-Simon Laplace在1774年設(shè)計的，他當時并不知道貝葉斯的工作。拉普拉斯被認為是負責(zé)貝葉斯概率發(fā)展的數(shù)學(xué)家。
貝葉斯定理的公式
有幾種不同的方法可以為貝葉斯定理編寫公式。最常見的形式是：
P（A ∣ B）= P（B ∣ A）P（A）/ P（B）
其中A和B是兩個事件，P（B）≠0
P（A ∣ B）是在事件B成立的情況下事件A發(fā)生的條件概率。
P（B∣A）是假設(shè)A為真的事件B發(fā)生的條件概率。
P（A）和P（B）是A和B彼此獨立出現(xiàn)的概率（邊際概率）。
例子
如果您患有花粉癥，您可能希望找到一個人患類風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎的可能性。在此示例中，“發(fā)生花粉癥”是對類風(fēng)濕關(guān)節(jié)炎（事件）的測試。
- 一個是事件“患者患有類風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎。” 數(shù)據(jù)表明，診所中10％的患者患有這種類型的關(guān)節(jié)炎。P（A）= 0.10
- B是測試“患者有花粉癥”。數(shù)據(jù)表明，診所中有5％的人患有花粉癥。P（B）= 0.05
- 診所的記錄還顯示，類風(fēng)濕關(guān)節(jié)炎患者中有7％患有花粉癥。換句話說，考慮到患有類風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎，患者發(fā)生花粉癥的可能性為7％。B∣A = 0.07
將這些值插入定理：
P（A ∣ B）=（0.07 * 0.10）/（0.05）= 0.14
因此，如果患者患有花粉癥，則其患類風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎的機會為14％。花粉癥的隨機患者不太可能患有類風(fēng)濕關(guān)節(jié)炎。
敏感性和特異性
貝葉斯定理很好地證明了醫(yī)學(xué)檢驗中假陽性和假陰性的影響。
- 靈敏度是真實的陽性率。它是正確識別的陽性比例的一種度量。例如，在妊娠試驗中，妊娠試驗陽性的婦女所占的百分比。敏感的測試很少會遺漏“陽性”。
- 特異性是真實的陰性率。它測量正確識別的負片的比例。例如，在妊娠試驗中，妊娠試驗陰性的女性中未懷孕的百分比。特定的測試很少會出現(xiàn)誤報。
完美的測試將是100％敏感和特定的。實際上，測試的最小錯誤稱為貝葉斯錯誤率。
例如，考慮一種靈敏度為99％且特異性為99％的藥物測試。如果有一半（0.5％）的人使用毒品，那么一個隨機檢測結(jié)果為陽性的人實際上是使用者的概率是多少？
P（A ∣ B）= P（B ∣ A）P（A）/ P（B）
也許改寫為：
P（用戶∣ +）= P（+用戶）P（用戶）/ P（+）
P（用戶+）= P（+用戶）P（用戶）/ [P（+用戶）P（用戶）+ P（+非用戶）P（非用戶）
P（用戶∣ +）=（0.99 * 0.005）/（0.99 * 0.005 + 0.01 * 0.995）
P（用戶∣ +）≈33.2％
只有約33％的時間隨機測試陽性的人實際上是吸毒者。結(jié)論是，即使一個人對藥物測試呈陽性反應(yīng)，它更可能他們根本不使用藥物比他們做的。換句話說，假陽性的數(shù)量大于真陽性的數(shù)量。
在現(xiàn)實世界中，通常要在敏感性和特異性之間做出權(quán)衡，這取決于不要遺漏陽性結(jié)果是否更重要，還是將陰性結(jié)果標記為陽性是否更好。
